递归原理

递归是一种解决问题的有效方法，在递归过程中，函数将自身作为子例程调用

你可能想知道如何实现调用自身的函数。诀窍在于，每当递归函数调用自身时，它都会将给定的问题拆解为子问题。递归调用继续进行，直到到子问题无需进一步递归就可以解决的地步。

为了确保递归函数不会导致无限循环，它应具有以下属性：

• 一个简单的基本案例（basic case）（或一些案例） —— 能够不使用递归来产生答案的终止方案。
• 一组规则，也称作递推关系（recurrence relation），可将所有其他情况拆分到基本案例。

注意，函数可能会有多个位置进行自我调用。

尾递归

尾递归函数是递归函数的一种，其中递归调用是递归函数中的最后一条指令。并且在函数中应该只有一次递归调用。

尾递归的好处是，它可以避免递归调用期间栈空间开销的累积，因为系统可以为每个递归调用重用栈中的固定空间。

我们来看下面的例子:

public class Main {  private static int helper_non_tail_recursion(int start, int [] ls) {    if (start >= ls.length) {      return 0;    }    // 不是尾递归，因为它在返回递归调用后进行了一些计算。    return ls[start] + helper_non_tail_recursion(start+1, ls);  }  public static int sum_non_tail_recursion(int [] ls) {    if (ls == null || ls.length == 0) {      return 0;    }    return helper_non_tail_recursion(0, ls);  }  //---------------------------------------------  private static int helper_tail_recursion(int start, int [] ls, int acc) {    if (start >= ls.length) {      return acc;    }    // 这是一个尾递归，因为最后的指令是递归调用。    return helper_tail_recursion(start+1, ls, acc+ls[start]);  }  public static int sum_tail_recursion(int [] ls) {    if (ls == null || ls.length == 0) {      return 0;    }    return helper_tail_recursion(0, ls, 0);  }}复制代码

请注意，在尾递归的情况下，一旦从递归调用返回，我们也会立即返回，因此我们可以跳过整个递归调用返回链，直接返回到原始调用方。这意味着我们根本不需要所有递归调用的调用栈，这为我们节省了空间。

尾递归函数可以作为非尾递归函数来执行，也就是说，带有调用栈并不会对结果造成影响。通常，编译器会识别尾递归模式，并优化其执行。然而，并不是所有的编程语言都支持这种优化，比如 C，C++ 支持尾递归函数的优化。另一方面，Java 和 Python 不支持尾递归优化。